과학적인 자금 관리 전략
어떤 투자를 하기에 앞서 투자자들은 항상 이 투자에 도대체 얼마의 돈을 투입해야 하는지에 대한 문제에 부딪힌다. 투자에 실패할 확률은 늘 존재하기 때문에 유리한 투자라고 해서 전체 자본을 투자할 수는 없다. 실패하면 파산하기 때문이다. 그렇다고 해서 적은 돈을 걸자니 유리한 투자임에도 불구하고 수익이 적어진다. 결국 이 둘을 적절히 조화시키는 자금관리 전략이 필요해진다.
자금관리 전략에 대한 책을 보면 피라미딩 전략, 노출 퍼센테이지 전략, 마팅게일 전략, 켈리 전략, Optimal F 전략 등 많은 자금관리 방법을 찾아볼 수 있다. 그러나 이중에서 수학적으로 근거가 있는 것은 켈리 전략뿐이다. (Optimal F 는 켈리전략의 일부분이다.) 켈리전략의 수학적 바탕은 다음과 같다.
확률게임을 여러 번 할 경우, 매 게임 전체 자본에서 f 비율만큼을 베팅한다고 하면 수학적으로 다음과 같은 사실이 증명되어 있다.
(i) 비율 f가 특정값 fc 이상이 되면 장기적으로 파산할 확률이 1이고, 0<f*<fc<1 인 최적 f*가 존재한다. (f* 의 비율로 베팅하는 전략이 켈리 전략이다.)
(ii) 켈리전략을 사용할 경우, 장기적으로 다른 어떤 전략보다(엄밀하게 essentially different 전략보다) 빠르게 자본이 불어난다.
(iii) 자본 목표치가 있을 때 이 목표에 다다르는 확률적으로 가장 빠른 전략은 켈리전략이다.
이런 수학적 결과는 상당히 많은 시사점을 준다. 우선 아무리 유리한 게임이라도 자본의 특정비율(이 비율은 배당률과 확률에 의해서 계산된다) 이상을 계속해서 베팅하게 되면 장기적으로 반드시 파산하게 된다는 결론은 기억할만하다. 이를 주식시장에 적용해보면, 주가의 오르내림을 아무리 잘 맞춘다고 해도 자신의 자본에 비해 너무 큰 돈을 걸게 되면 장기적으로는 파산할 수 밖에 없다는 말이 된다. 상대적으로 자본이 작은 개인 투자자들이 특히 신경써야할 부분이다. 또한 1억 모으기 등의 목표치가 있는 경우나 장기적인 자본 성장에 우선순위를 둘 경우에 켈리 전략을 사용해야 한다는 것을 말해준다.
그럼 켈리 전략을 어떻게 투자에 적용할 것인가. 켈리 전략은 흔히 우위/배당률 이라는 간단한 공식으로 알려져 있으나 이는 경마나 카드 게임과 같이 배당률이 확실하게 알려져 있고 경우의 수가 간단한 경우에만 적용할 수 있다. 켈리공식을 투자에 적용하는 것은 상당한 수학적 기교와 경험을 필요로 한다. 특히, 여러가지 제한조건을 가지고 있는 복잡한 포트폴리오의 최적화된 자금관리는 상당한 컴퓨팅 파워와 공학적인 기법을 사용해서만 가능하다. 다음은 비교적 간단한 켈리 전략 적용의 예이다.
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# S&P 500 Index에 적용한 켈리 전략
주식시장은 연속적으로 변하고 포트폴리오 안에는 여러가지 주식들이 있다. 포트폴리오 안에 n개의 주식이 있고, x: 주식수익률 벡터, f: 투자비율 벡터, P(x): Probability Measure 일때, 켈리 전략은 성장률 g(f) = ∫ ln(1+fx) dP(x) 를 최대화 시키는 f를 구하는 것과 동일하다. 분포를 가정하여 계산한 결과는
f* = (m-r)/s2(제곱) (m: 초과수익률, s: 주식수익률 표준편차, r: 무위험 이자율)
g(f) = r+f(m-r)-s2f2/2
가 된다. S&P500 및 이자율 데이터에서 계산된 수익률=11% 무위험이자율=6%, 표준편차=15% 을 위의 공식에 대입하면 최적의 베팅전략은 자본의 2.22배를 베팅하는 것이다. (즉 자기자본의 1.12배는 차입하게 된다.) 이 경우 8.32년 뒤 자본이 현재보다 증가할 확률은 84% 이고 자본은 2.61배로 증가할 것이 기대된다.
위의 예는 실제보다 상당히 단순화 된 것이다. 우선 수학적으로 편리한 분포가 가정되었고, 이자율 r과 주식수익률 m을 고정된 값으로 보았으며 세금과 수수료, 실제 투자자가 직면한 이자율도 고려되지 않았다. 실제 포트폴리오 운용에서는 이자율 및 (예상)주식수익률의 변동, 주식간의 상관관계 등을 고려하여 실시간으로 최적의 f를 계산해주어야 하며, 수익률 분포 역시 상황에 따라서 갱신해주는 것이 보다 좋은 성과를 가져온다. 주의할 점은 수익률 m은 어디까지나 과거의 데이터로부터 계산된 것이거나 예측치일 뿐 실제의 m과는 거리가 있으므로 보수적으로 낮추어 잡는 것이 좋다. m을 낮추어 잡으면 투자비율 f도 작아져서 자본 성장률은 낮아지지만 장기 파산의 위험성 역시 크게 낮아지기 때문이다.
계산에 의하면 m을 낮추어 예측함으로써 계산된 자본 투자비율 f가 실제 최적 비율의 1/2이 되어도 자본성장률은 1/4 정도가 줄어드는데 그친다. 반면에 m을 높게 잡는 것은 f가 g(f)=0인 f값을 넘어서게 하여, 장기파산확률을 1이 되게 할 수도 있다. 시스템 트레이딩에서 몇 달간의 좋은 수익률에 고무되어 그 수익률을 m으로 잡았다가 얼마 못가 파산해버린 사례는 셀 수조차 없다. m을 낮게 잡아야 할 또 하나의 이유는 주가 급락 때문이다. 주가가 급락하면 기초자산이 줄어들어 레버리지가 자동적으로 커지게 된다. 그러면 포트폴리오 일부를 팔아서 다시 레버리지를 최적화된 값에 맞추어야 한다. 그렇지만 주가 급락 시에는 이러한 조정이 쉽지가 않아 레버리지가 상당기간 최적치보다 높은 값으로 남아있게 되고 투자비율 f 역시 최적치보다 커진 값이 되어버려 파산위험이 매우 높아지게 된다. 여기에 신용제약까지 겹친다면 파산확률은 더욱 커지므로 m을 보수적으로 잡는 것의 효용은 생각보다 크다고 할 수 있다.
이상으로 켈리 자금관리 전략에 대해 간략히 알아보았다. 최적화된 자금관리 전략은 장기간의 자본 성장률을 극대화하고 파산가능성을 줄여주므로 반드시 필요하다. 개인들이 주식투자에서 실패하는 가장 큰 이유는 낮은 확률에 많은 돈을 거는, 거꾸로 가는 자금관리전략 때문인 경우도 많다. 앞에서도 언급되었듯이, 설령 유리한 확률일지라도 과다한 베팅을 한다면 장기적으로 반드시 파산한다는 것을 알아야 한다. 하물며 불리한 확률인 경우에는 말할 필요조차 없을 것이다.
또 한가지 기억해야 할 것은 어떠한 자금관리 전략도 불리한 확률(음의 기대값)에서 장기적으로 돈을 벌 수는 없다는 것이다. 불리한 확률에서 최선의 선택은 게임을 안하는 것이다.
잃고 따는 금액은 비슷한데 승률이 낮거나, 승률은 높더라도 이길 때는 적게 따고 질 때는 많이 잃는 사람은 매매를 그만두는 것이 유일한 자금관리 전략이다. 이 경우에는 장기적으로 켈리 전략에 따라(m을 보수적으로 잡아서!) 인덱스 펀드 등에 가입하는 것이 훨씬 나은 선택이다.
자금관리 전략은 유리한 확률을 제대로 살리지 못하고 지지부진한 자본성장을 보이는 경우에 가장 필요하다. 개별종목의 수익률은 좋은 편이나 그에 비해 전체 자본은 별로 늘어나지 않았다면 지독하게 운이 없거나 자금관리 전략의 개선이 필요한 경우이다. 계획적인 자금관리 시스템을 구축한 기관의 경우 상당한 자본수익률의 증가가 이루어졌다는 미국의 실증연구는 우리나라 금융기관에서도 참고할 만하다.
김형식([email protected])
IFEA(http://cafe.naver.com/volanalysis) 회장