[옵션이야기]베가, 변동성

변동성, 베가, 블랙-숄즈 모델

외환이 환율을 가지고 거래를 한다면 옵션은 변동성을 가지고 거래를 한다.

베가(Vega)란 옵션 기초자산의 변동성 변화에 대한 옵션 가치의 변화율이다. 베가의 기호에 관계없이 그 절대값이 크고 적음에 따라 변동성의 변화에 대한 옵션가치의 민감도(sensitivity)는 증가한다. 또한 베가는 기초자산의 가격이 행사가격에 가까워 질수록 커진다.

지금까지 옵션의 포지션을 측정해 주는 델타, 감마, 쎄타, 로 그리고 베가 등 5Greeks 에 대해서 간단히 알아보았다. 그렇다면 실제로 옵션의 가치는 어떻게 결정되는가? 가장 기초적인 모델로 우리는 Fisher Black, Myron Scholes와 Robert Merton이 1970년대 초에 만든 우리가 흔히 Black-Scholes Model이라 불리는 Pricing Tool을 들 수 있다. 원래 주식옵션을 위한 가격결정모델로 고안 되었으나, 주식옵션만이 아닌 외환 및 이자율 옵션에도 약간의 수정을 거쳐 널리 사용되고 있다. 가장 기본적인 블랙 앤 숄즈모델의 식은 아래와 같다.

European 콜옵션가격 = So * N(d1) - X * e-rT * N(d2)

So : 기초자산의 현재 가격, X : 행사가격, N(x) = x의 표준정규누적분포값, s : 변동성, r : 이자율

d1 = [ln(So/X) + (r+s2/2) * sqrt(T)]/s * sqrt(T)

d2 = d1 - s * sqrt(T)

언뜻 보면 위의 식은 여러가지 복잡한 약어들의 나열에 불과하다. 그러면 과연 각각이 의미하는 바는 무엇인가? 막상 위의 식을 알고 있는 사람은 많지만 실제 그 의미에 대해서는 모르는 사람들이 많다. 우선 앞부분을 보자. N(d1) 에 현재 기초자산의 가격을 곱한 값은 옵션이 ITM 가 되었을 경우 기초자산의 가격에 대한 기대 값을 의미한다. 뒷부분인 X * e-rT * N(d2) 는 옵션이 행사될 확률에 우리가 옵션을 행사함으로 지급해야 할 금액인 행사가격의 현재가치를 곱한 것이다. 결국 옵션의 가치는 그 옵션이 ITM 가 되어서 행사가 되었을 경우 기대값과 비용의 차이를 말한다.

위의 식에서 기초자산의 현재가격과 이자율은 현재 거래되는 시장에서 정해지며 만기까지의 기간과 행사가격은 옵션계약에서 우리가 결정할 수 있다. 결국 옵션의 가격은 변동성(Volatility)을 측정하는 s(시그마) 에 의해 결정되며 s는 확률적으로 말했을 때 일년간의 기초자산의 수익률의 표준편차를 말한다.

그리고 변동성은 환율이 외환시장에서 딜러들의 거래를 통해 결정되듯이 옵션시장에서 마찬가지로 결정되어진다. 변동성은 Historical 변동성과 Implied 변동성으로 나누어서 생각할 수 있는데, Historical 변동성은 과거 기초자산의 수익율의 표준편차이다. Implied 변동성은 시장에서 거래되는 옵션의 가격에서 유추되어진 변동성을 의미한다. 즉 시장에서 자율적으로 결정되어진 변동성을 말한다.